Выберите тематику

Журналы / Электронные журналы

Книги / Электронные книги

Метод вспомогательной окружности. Пособие для учащихся физико-математических классов

Метод вспомогательной окружности. Пособие для учащихся физико-математических классов
  • Автор:  Ажгалиев Урынбасар
  • Год издания:  2013
  • Наличие:  На складе
  • Объем:  56 с.
  • Покрытие:  Обложка
  • Формат:  60х90/8

200руб

В сборник включены конкурсные и олимпиадные задачи, решаемые методом вспомогатель-
ной окружности. Описанные приемы будут полезны учащимся, которые готовятся к поступле-
нию в вуз, а также помогут подготовиться к участию в городских, областных и республикан-
ских олимпиадах. Ко многим задачам даны решения, к остальным — ответы и указания.
Пособие предназначено ученикам 9–11 классов, учителям математики для подготовки к
олимпиадам, студентам математических факультетов и всем любителям математики.

ВСТУПЛЕНИЕ
В данном сборнике представлено большое количество геометрических задач, реша-
емых методом вспомогательной окружности — одним из самых ярких и изящных
в планиметрии.
Решение геометрических задач является и трудным, и интересным занятием.
Трудность объясняется отсутствием общего алгоритма решения более или менее
нетривиальных задач, так как каждая такая задача требует к себе индивидуального
и творческого подхода.
Одновременно это занятие является и интересным, ибо почти всякую задачу мож-
но решить, как правило, многими способами.
Одним из таких интересных и оригинальных способов решения является метод вспо-
могательной окружности. Привлекательными его сторонами являются краткость рас-
суждений, внешняя и внутренняя красота.
При помощи этого метода можно решать геометрические задач на вычисление, дока-
зательство, построение, нахождение геометрического места точек и т.д. В большинстве
случаев для их решения методом вспомогательной окружности используются некото-
рые достаточные условия того, что четырехугольник можно вписать в окружность.
Приведем наиболее часто встречающиеся из этих признаков.
Итак, четыре различные точки A, B, C, D принадлежат одной окружности, если:
1) точки А и D расположены в одной полуплоскости относительно прямой ВС и вы-
полняется равенство ∠BDC = ∠BAC;
2) точки А и D расположены в разных полуплоскостях относительно прямой ВС
и выполняется равенство ∠BDC + ∠BAC = 180° (иначе говоря, сумма двух противопо-
ложных углов четырехугольника ABCD равна 180°);
3) точки А и D являются вершинами двух прямоугольных треугольников с общей
гипотенузой ВС (и центр их общей описанной окружности О есть середина гипотену-
зы) — хотя это утверждение, по существу, и является простым следствием двух пре-
дыдущих, мы выделили его отдельным пунктом, поскольку им приходится пользовать-
ся весьма часто;
4) диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е и при этом треуголь-
ники ABЕ и DСЕ подобны;
5) две различные прямые АС и BD пересекаются в точке Е, причем выполняется
соотношение: AE ⋅ EC = BE ⋅ ED;
6) произведение диагоналей четырехугольника ABCD равно сумме произведений
противолежащих сторон: AВ ⋅ CD + BC ⋅ AD = AC ⋅ BD;
7) основания перпендикуляров, опущенных из точки D на прямые, содержащие сто-
роны треугольника ABC, лежат на одной прямой.
8) Замечание о центре окружности.
В некоторых случаях одну из четырех данных точек можно рассматривать как
центр окружности, проходящей через остальные три точки. Например, если точки C
и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB, выполняется равенство
∠ADB = 2∠ACB и точка D равноудалена от А и В, то точки A, B, C лежат на окруж-
ности с центром в точке D. (Сформулируйте аналогичное утверждение для точек C и
D, расположенных в разных полуплоскостях относительно прямой AB.)

Автор выражает благодарность редактору Алексею Мякишеву
за проделанную работу.

Яндекс.Метрика