Опубликованы задания III тура 2010 года конкурса "Эврика!", проводимого среди юных математиков

КОНКУРС «ЭВРИКА!»

Мы продолжаем конкурс решения задач, предназначенный прежде всего для учащихся 5–9 классов. Победители конкурса будут награждены специальными призами. Решения задач этого тура нужно присылать до 15 февраля 2011 года. В письме сообщите свою фамилию, имя, класс и номер школы, в которой Вы учитесь. Письма присылайте на адрес редакции: 127254, Москва, ул. Руставели, д. 10, корп. 3, с пометкой «Эврика!» (или же присылайте решения в формате «.doc» на электронный адрес: matematika@schoolpress.ru). Присоединиться к нашему конкурсу можно с любого тура.

Удачи!

Задания III тура

13. Любой ученик младших классов легко может в данном равенстве переставить одну цифру так, чтобы оно стало верным:

27 – 127 = 100.

А сможете ли вы добиться, чтобы равенство оказалось верным, переставив в нем любые две цифры (и только цифры), если не разрешается переставлять ни одну из единиц?

Л. Штейнгарц.

14. Как вы думаете, чем было примечательно 25 июня 1987 года? С виду вроде бы дата как дата, ничего особенного. Но давайте запишем ее в общепринятом числовом формате (две цифры – число, еще две – месяц, и, наконец, четыре цифры – год): 25.06.1987. Теперь сразу бросается в глаза, что все восемь использованных цифр – различны! Более того, с тех пор вплоть до нынешнего момента такого дня больше не было.

А когда в следующий раз наступит дата с такими же свойствами – чтобы для ее записи потребовались 8 различных цифр?

И. Акулич.

15. Однажды в кинотеатре «Фобос и Деймос» количество зрителей выражалось простым числом. Во время просмотра фильма несколько зрителей покинуло зал. При этом оказалось, что число зрителей уменьшилось на целое число процентов, а количество оставшихся в зале зрителей снова оказалось простым числом. Сколько зрителей было в кинотеатре вначале?

Л. Штейнгарц.

16. На шахматной доске изначально расставлено несколько ферзей. Далее разрешается ставить по одному на пустые клетки дополнительных ферзей, если каждый такой ферзь угрожает не менее чем четырём ферзям, уже имеющимся на доске. Каково наименьшее количество ферзей нужно расставить вначале, чтобы по указанным правилам можно было заполнить ферзями всю доску?

И. Акулич.

17. Внутри правильного треугольника выбрана произвольная точка М. Точки Х, Y, Z симметричны точке М относительно сторон треугольника. При каком выборе точки М площадь треугольника XYZ окажется наибольшей?

С. Дворянинов.

18. Рассмотрим два произвольных треугольника D₁ и D₂ с длинами сторон соответственно

a₁£ b₁ £ c₁и a₂ £ b₂£ c₂. Треугольники, задаваемые упорядоченными тройками их длин, мы будем обозначать также (a₁, b₁, c₁) и (a₂, b₂, c₂).

а) Покажите, что набор трех чисел а = а₁ + а₂, b = b₁ + b₂, c = c₁ + c₂ задает длины сторон некоторого треугольника D, который мы назовем суммой треугольников D₁ и D₂, обозначая это так: D = D₁ + D₂, или так: (а, b, c) = (а₁, b₁, c₁) + (а₂, b₂, c₂).

б) Всегда ли сумма прямоугольных треугольников – прямоугольный треугольник? Если нет – укажите условия, которым должны удовлетворять два прямоугольных треугольника, чтобы их сумма была прямоугольным треугольником.

в) Можно ли аналогичным образом определить операцию «умножения треугольников», то есть «произведением» треугольников D₁ и D₂ объявить треугольник с длинами сторон (а₁а₂, b₁b₂, c₁c₂)?